【三角函数所有求导公式】在微积分中，三角函数的求导是基础且重要的内容。掌握这些求导公式不仅有助于解决数学问题，还能在物理、工程等实际应用中发挥重要作用。以下是对常见三角函数及其组合函数的求导公式的总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本三角函数的导数
以下是六个基本三角函数的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、反三角函数的导数
反三角函数也是常见的求导对象，以下是其导数公式：
| 函数 | 导数 | ||
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \arccos x $ | $ \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \text{arccot } x $ | $ \frac{-1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \text{arcsec } x $ | $ \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \text{arccsc } x $ | $ \frac{-1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
三、复合三角函数的导数（使用链式法则）
当三角函数与其它函数组合时，需要用到链式法则进行求导。例如：
- 若 $ y = \sin(u) $，则 $ y' = \cos(u) \cdot u' $
- 若 $ y = \cos(u) $，则 $ y' = -\sin(u) \cdot u' $
- 若 $ y = \tan(u) $，则 $ y' = \sec^2(u) \cdot u' $
类似的规则适用于其他三角函数和反三角函数。
四、常见组合函数的导数示例
| 函数 | 导数 |
| $ \sin(2x) $ | $ 2\cos(2x) $ |
| $ \cos(3x) $ | $ -3\sin(3x) $ |
| $ \tan(x^2) $ | $ 2x \sec^2(x^2) $ |
| $ \sin(\ln x) $ | $ \frac{\cos(\ln x)}{x} $ |
| $ \arctan(e^x) $ | $ \frac{e^x}{1 + e^{2x}} $ |
五、总结
三角函数的求导公式是学习微积分的基础内容之一，熟练掌握这些公式可以提高解题效率。无论是简单的三角函数还是复杂的复合函数，只要结合链式法则和基本求导规则，都可以轻松应对。
建议在学习过程中多做练习题，巩固对这些公式的理解和应用能力。同时，注意区分正负号和不同函数之间的区别，避免混淆。
