【分式的导数】在微积分中，分式的导数是求解函数变化率的重要工具。当函数以两个函数相除的形式出现时，即为分式形式，此时我们需要使用“商法则”来求其导数。本文将总结分式的导数的基本规则，并通过表格形式展示常见分式及其导数。
一、分式的导数基本概念
一个分式函数通常表示为：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。
根据商法则，该分式的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式是求分式导数的核心工具。
二、常见分式及其导数（表格）
| 分式 | 导数 |
| $ \frac{c}{x} $（c为常数） | $ -\frac{c}{x^2} $ |
| $ \frac{x}{a} $（a为常数） | $ \frac{1}{a} $ |
| $ \frac{x^n}{a} $（n为整数，a为常数） | $ \frac{n x^{n-1}}{a} $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
| $ \frac{1}{x^2} $ | $ -\frac{2}{x^3} $ |
| $ \frac{x + a}{x - b} $（a, b为常数） | $ \frac{(1)(x - b) - (x + a)(1)}{(x - b)^2} = \frac{-a - b}{(x - b)^2} $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $ |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2} $ |
三、总结
分式的导数计算主要依赖于商法则，即：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
掌握这一法则后，可以应对大多数分式函数的导数问题。对于更复杂的分式，如含有三角函数、指数函数或多项式的组合，只需逐步应用商法则和基本导数公式即可。
通过上述表格，可以快速查阅常见分式的导数结果，提高计算效率并减少出错概率。
注： 在实际应用中，建议先简化分式结构，再进行求导操作，有助于避免不必要的复杂计算。
