【复合求积分公式】在数学中，积分是微积分的重要组成部分，用于计算函数的面积、体积等。对于一些复杂的函数，直接求积分可能非常困难或无法解析求解。因此，人们发展出多种数值积分方法，其中“复合求积分公式”是一种广泛应用的方法。它通过将积分区间分割成多个小段，并在每一段上使用简单的积分方法进行近似计算，从而提高精度。
以下是对几种常见复合求积分公式的总结，包括其基本思想、公式形式以及适用范围。
一、复合梯形公式
基本思想：将积分区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个子区间，在每个子区间上用直线近似函数图像，然后将所有子区间的面积相加。
公式形式：
$$
\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right
$$
其中，$ h = \frac{b - a}{n} $，$ x_i = a + ih $。
适用范围：适用于光滑函数，误差与 $ h^2 $ 成正比。
二、复合辛普森公式
基本思想：将积分区间 $[a, b]$ 分为偶数个子区间，在每两个相邻子区间上用抛物线近似函数图像，从而得到更精确的结果。
公式形式：
$$
\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right
$$
其中，$ h = \frac{b - a}{n} $，$ n $ 为偶数。
适用范围：适用于光滑且连续的函数，误差与 $ h^4 $ 成正比，精度高于梯形法。
三、复合中点公式
基本思想：将积分区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个子区间，在每个子区间中点处计算函数值，再乘以区间宽度，最后求和。
公式形式：
$$
\int_a^b f(x) \, dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f\left( x_i^ \right)
$$
其中，$ h = \frac{b - a}{n} $，$ x_i^ = a + (i - 0.5)h $。
适用范围：适用于对称性较强的函数，误差与 $ h^2 $ 成正比。
四、复合高斯求积公式
基本思想：选择特定的节点和权重，使得积分近似在多项式空间内达到最高阶精度。
公式形式（以两点高斯公式为例）：
$$
\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx f(-\sqrt{3}/3) + f(\sqrt{3}/3)
$$
对于任意区间 $[a, b]$，可先做变量替换 $ x = \frac{(b-a)t + (a+b)}{2} $，再应用上述公式。
适用范围：适用于高精度要求的场合，误差通常低于梯形法和辛普森法。
表格对比
| 方法名称 | 基本思想 | 公式形式 | 误差阶 | 适用范围 |
| 复合梯形公式 | 用直线近似函数 | $\frac{h}{2}[f(a)+2\sum f(x_i)+f(b)]$ | $O(h^2)$ | 光滑函数 |
| 复合辛普森公式 | 用抛物线近似函数 | $\frac{h}{3}[f(a)+4\sum f(x_{odd})+2\sum f(x_{even})+f(b)]$ | $O(h^4)$ | 光滑且连续函数 |
| 复合中点公式 | 在每个子区间的中点取值 | $h \sum f(x_i^)$ | $O(h^2)$ | 对称性强的函数 |
| 复合高斯求积公式 | 选择最优节点和权重 | 取决于所选高斯点 | $O(h^{2n})$ | 高精度需求 |
总结
复合求积分公式是数值分析中的重要工具，能够有效处理难以解析求解的积分问题。根据不同的函数性质和精度要求，可以选择不同的复合方法。梯形法和辛普森法适合大多数工程和科学计算场景，而高斯求积法则在需要更高精度时表现出色。合理选择和应用这些方法，可以显著提升计算效率和结果准确性。
