在数学中，函数的定义域是指使得该函数有意义的所有自变量值的集合。对于函数 $ y = \tan(2x) $，我们需要找出所有满足条件的 $ x $ 值，使得表达式 $ \tan(2x) $ 有定义。
第一步：回顾正切函数的性质
我们知道，正切函数 $ \tan(\theta) $ 在其定义域内是周期性的，并且具有以下特性：
- $ \tan(\theta) $ 的定义域为 $ \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $，其中 $ k \in \mathbb{Z} $（即整数）。
- 这是因为当 $ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 时，分母 $ \cos(\theta) = 0 $，导致函数无定义。
因此，对于 $ \tan(2x) $，我们同样需要确保分母不为零。
第二步：确定 $ 2x $ 的限制条件
将上述正切函数的定义域应用到 $ \tan(2x) $ 中，可以得出：
$$
2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$
接下来，我们将这个条件转化为关于 $ x $ 的不等式：
$$
x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$
第三步：总结定义域
通过以上推导可知，函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域为所有实数 $ x $，但需排除满足 $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $ 的点。换句话说，定义域可以表示为：
$$
D_y = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}.
$$
第四步：验证结果
为了进一步验证结果的正确性，我们可以尝试几个特殊值。例如：
- 当 $ k = 0 $，$ x = \frac{\pi}{4} $；
- 当 $ k = 1 $，$ x = \frac{3\pi}{4} $；
- 当 $ k = -1 $，$ x = -\frac{\pi}{4} $。
这些值均使 $ \tan(2x) $ 无定义，符合我们的结论。
最终答案
函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域为：
$$
\boxed{\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}}.
$$
