求导x乘以e的2x次方
在高等数学中，函数求导是一项基础而重要的技能。今天我们将探讨一个经典的复合函数求导问题：如何对函数 $ f(x) = x \cdot e^{2x} $ 进行求导。
首先，我们注意到这是一个由两个部分组成的函数：$ x $ 和 $ e^{2x} $。根据乘积法则（Product Rule），对于两个函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 的乘积 $ u(x)v(x) $，其导数为：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
在这里，令 $ u(x) = x $ 和 $ v(x) = e^{2x} $。我们需要分别求出这两个函数的导数。
1. 求 $ u(x) = x $ 的导数
显然，$ u'(x) = 1 $。
2. 求 $ v(x) = e^{2x} $ 的导数
根据指数函数的求导公式 $ \frac{d}{dx}[e^{kx}] = ke^{kx} $，我们可以得到：
$$
v'(x) = \frac{d}{dx}[e^{2x}] = 2e^{2x}
$$
接下来，代入乘积法则公式：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
将 $ u(x) $、$ u'(x) $、$ v(x) $ 和 $ v'(x) $ 的值代入：
$$
f'(x) = (1)(e^{2x}) + (x)(2e^{2x})
$$
化简后得到：
$$
f'(x) = e^{2x} + 2xe^{2x}
$$
进一步提取公因式 $ e^{2x} $：
$$
f'(x) = e^{2x}(1 + 2x)
$$
因此，函数 $ f(x) = x \cdot e^{2x} $ 的导数为：
$$
f'(x) = e^{2x}(1 + 2x)
$$
通过这个过程，我们不仅复习了乘积法则和指数函数的求导公式，还得到了最终的结果。希望这篇内容对你理解复合函数求导有所帮助！
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