一个长方体，如果它的高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积有何变化？

在几何学中，长方体和正方体是两种常见的三维图形。当一个长方体通过增加高度的方式转化为正方体时，意味着这个长方体原本的高度比底面边长少了2厘米。这种转化不仅改变了物体的形状，还影响了它的表面积。

假设原长方体的底面是一个边长为\(a\)的正方形，而其高度为\(h\)。根据题意，\(h = a - 2\)。当长方体变为正方体后，所有边长都相等，即变为边长为\(a\)的立方体。

首先计算原长方体的表面积：

\[

S_{\text{长方体}} = 2(a^2) + 4(ah)

\]

这里包含两个底面（每个面积为\(a^2\)）以及四个侧面（每个面积为\(ah\)）。

然后计算新正方体的表面积：

\[

S_{\text{正方体}} = 6a^2

\]

接下来比较两者之间的差异：

\[

\Delta S = S_{\text{正方体}} - S_{\text{长方体}}

\]

代入公式得：

\[

\Delta S = 6a^2 - [2a^2 + 4a(a-2)]

\]

\[

\Delta S = 6a^2 - (2a^2 + 4a^2 - 8a)

\]

\[

\Delta S = 6a^2 - 6a^2 + 8a

\]

\[

\Delta S = 8a

\]

因此，当长方体变成正方体时，表面积增加了\(8a\)平方厘米。这一结果表明，尽管体积保持不变，但形状的改变导致了表面积的增加，具体增量取决于原长方体底面边长的大小。

从实际应用角度来看，这样的几何转换可以用于包装设计或建筑材料的选择上。例如，在设计盒子时，如果需要将现有设计改为等边的设计，那么需要考虑额外材料的需求量。

总之，通过对这个问题的研究，我们不仅加深了对几何图形之间关系的理解，也认识到尺寸微小变化可能带来的显著效果。这正是数学的魅力所在——它能够帮助我们洞察日常生活中的细微之处，并提供解决问题的新思路。